KENDİNİ TEKRARLAYAN OLAYLARIN DOĞASI ÜZERİNE

A Mathematical Model of Chronic Events
Ali R+ SARAL

1. Giriş

Kendini tekrarlayan olaylar, kronik olaylar matematikte periyodik fonksiyonlar[1] şeklinde soyutlanabilirler:

f( t ) ={ f( t + k T ) k e N; t ,T e R ve T = sabit } ( Formul 1 )

Burada t zamanı, Tperiyodu yani kronik olayın iki tekrarı arasında geçen süreyi belirtir. Görüldüğü gibi fonksiyonumuz her T periyodu kadar süre geçtiğinde hep aynı değerleri almaktadır. Bu şekilde tanımlayabileceğimiz bir periyodik fonksiyona[2] ilişkin örnek bir grafik aşağıdadır.

Şekil 1

Bu şekilde t belirli bir zaman birimi cinsinden f(t) ise olayın ölçülen belirli bir niteliğinin birimi cinsinden olmalıdır. Görüldüğü gibi fonksiyon her 10 zaman birimi arayla aynı f(t) değerini almaktadır.

Kronik bir olayı modellemek için ilk olarak olaya ilişkin f(t) fonksiyonunu belirlemek gerekir.


2. Bir Olayın Matematiksel Modeli
Şekil 2

Bir olayı modellediğimiz fonksiyon olayı, olayın başlaması, olması ve bitmesini dikkate alarak soyutlamaktadır.
Buna göre olay tbaş anına kadar yoktur. Bu nedenle f( t ) fonksiyonunun değeri 0’dır. tbaş anından sonra olay vardır. Bu nedenle f( t ) 1 değerini alır, ve benzeri… Buna göre olaya ilişkin

f( t ) fonksiyonu şu şekilde tanımlanabilir:Formul 2

Öte yandan birim basamak fonksiyon U( t ) şu özelliklere sahiptir[3].
Şekil 3
Formul 3

Eğer birim basamak fonksiyonu U( t )’yi zaman içinde tbaş kadar ötelersek
Şekil 4

Eğer tbaş kadar ötelenmiş birim basamak fonksiyonundan tson kadar ötelenmiş birim basamak fonksiyonunu çıkarırsak Şekil 5

İşte bu durumda bir olayı modelleyebileceğimiz matematiksel fonsiyonu elde etmiş oluruz.

f( t ) = U( t – tbaş ) – U( t – tson) ( Formul 4)

Şekil 6

Bu fonksiyon matematiksel olarak şu şekilde ifade edilebilir: Formul 5

3. Modelin Gerçek Hayatla Karşılaştırış ve Tartılışı fonksiyon matematik

U(t)’ye eşdeğer matematiksel fonksiyonlar eşik(threshold) parça parça doğrusal (piecewise linear), sigmoid ya da gaussian olabilir[4]. Eğer yakından bakarsak U( t ) şu şekli alabilir:
Şekil 7

Yani, olayın her aşamasında artma, yoğunlaşma ya da zıt yönde dalgalanmalar olabilir. Eğer bu dalgalanmalar, incelediğimiz olayın boyutu ile karşılaştırılabilir genlikte iseler, olayı tek bir olay gibi incelemek yerine birden çok olayın etkileşmesi şeklinde incelemek ya da gözlem süresini daha geniş tutmak gerekebilir.

U( t – tbaş) fonksiyonu üç fonksiyon kümeleri kümesinin bir fonksiyonu olabilir:

1- olayın olmasına ortam hazırlayan etken fonksiyonlar kümesi
2- olaya doğrudan neden olan neden fonksiyonlar kümesi
3- olayı harekete geçiren tetikleyici fonksiyonlar kümesi.

U( t – tson) fonksiyonu ise bu üç fonksiyon kümeleri kümesinin tersi işlevleri olabilir. Bu fonksiyonların matematiksel ve genel özelliklerini “Kendini Tekrarlayan Olayların Doğası Üzerine - II” adlı makalemde inceleyeceğim.


4. Kronik Bir Olayın Matematiksel Modeli

Formul 1 ve Formul 4 ‘ten periyodik bir olayı şu şekilde modelleyebiliriz:

Şekil 8

f( t ) = { U( t – tbaş + k T ) – U( t – tson + k T) k e N; t ,T e R ve T = sabit }

( Formul 6)

Bu ifade periyodik olaylar için geçerlidir. Kendini tekrar eden kronik olaylar için ise

Şekil 9

f( t ) = { U( t – tbaş + kbaş(t) Tbaş(t) ) – U( t – tson + kson(t) Tson(t))
k(t) = { kn kn e R , n e N ve n <>

Tbaş(t)= { T n T n e R , n e N ve n <>

Tson(t)= { T n T n e R , n e N ve n <>

( Formul 7)

Tekrarlamayan olay süresi değişiklikleri tbaş tson’u zamana bağlı bir fonksiyon olarak değerlendirerek açıklamak uygun olabilir. Örneğin hava trafiğinin yoğun olduğu bir durumda kullanılan sistemlerde olabilecek bir hata yoğunluğa ilişkin olağanüstü durumun daha uzun sürmesine neden olabilir. Bu durumu tbaş ve t son’un zamana bağlı geçici bir fonksiyon değeri olarak almak gerekir.

Öte yandan, kriz durumlarının giderek ağırlaşması Tbaş (t) ve Tson (t) fonksiyonları arasındaki ilişkiyle simule edilebilir. kbaş ve kson kriz sürelerinin periyodik olarak salınımlarını incelemekte kullanılabilir.

5. Modelin Uygulamaları

5.1 Kronik olayın giderek yok oluşu

Eğer olayın tekrarlayış periyodu T çok uzarsa, yani olayın tekrarları giderek çok seyrekleşirse, Formul 6’da tbaş ve tson ‘u ihmal edip yok sayabiliriz. O zaman Formul 6 şu hali alır:

f( t ) = { U( t – k T ) – U( t – k T) k e N; t ,T e R ve T = sabit }
f( t ) = 0 ( Formul 8)

Kısacası tekrarları giderek seyrekleşen bir kronik olay giderek yok olur.

5.2 Kronik olayın giderek sıklaşması ve sürekli bir nitelik kazanışı

Eğer olayın tekrarlayış periyodu T giderek kısalıyorsa, yani olay giderek daha sık gerçekleşiyorsa, Formul 6’da k T ifadesini ihmal edip yok sayabiliriz. O zaman Formul 6 şu hali alır:

f( t ) = { U( t – tbaş ) – U( t – tson ) k e N; t ,T e R ve T = sabit } ( Formul 9)

Kısacası, formul 9 tek bir olayı modelleyen formul 4 ile aynıdır.

6. Son Değerlendiriş ve Bundan Sonrası Üzerine

Gerçek hayata bakarsak, yaptığımız modelin 5.2’de gösterdiği davranışın her zaman geçerli olmadığını görürüz. Örneğin, bazı problemler iyileşme yoluna girdiklerinde sorun belirtileri hafifleşmekle birlikte sıklaşabilir. Yani, sorun tekrarlamakla birlikte giderek daha hafif şekiller alabilir, örneğin bazı hastalıklarda. Bu durum yalnızca olayın zaman boyutunda başlangıç ve bitişlerini dikkate alan modelimizin daha da genişletilmesi gerektiğini göstermektedir. Örneğin, Formul 2’de vermiş olduğumuz fonksiyonun alanı, ( tbaş – tson ) * f( t ) yani önerdiğimiz fonksiyonun integrali gerçekleşmiş olay kapasitesi’ni ifade eder. Olay çıkma kapasitesi ise yukarıda belirttiğimiz etken, neden ve tetikleyicilere bağlıdır. Bu konuyu “Kendini Tekrarlayan Olayların Doğası Üzerine - II” adlı makalemde inceleyeceğim. Konunun havacılık ve hava trafik kontrolü açısından önemi gerçekleşmiş olay kapasitesi’nin olası kazalara ilişkin riskin hesaplanışında kullanılabilirliği olabilir.

Konunun bir diğer yönü de, kronik bir olayın nasıl algılandığıdır. Periyodik bir algılama fonksiyonunun f( t ) ile çarpımının integralinin vereceği değerler bir olayın kronikleştiğini tespit etmekte kullanılabilir. Bu algılama için geçen kontrol süresi olayı algılayışın gerektirdiği zihinsel yükün bir kısmı ile orantılıdır. Bu yöntemle aniden olay oluş durumu ya da giderek yoğun bir yükün ortaya çıkışı durumlarını gelecek makalelerimde inceleyeceğim.

REFERENCES:
[1] Function (mathematics)
[2] Periodic Function
[3] Birim Basamak Fonksiyon (Heaviside Fonksiyonu)
[4] Anil k. JAIN, ‘Artificial Neural Networks: A Tutorial’, 0018-9162/96/$5.000 1996 IEEE, s. 35.