İTÜ’den Hocam Sn. Ahmet DERVİŞOĞLU’na.
Matematikte yakınsamak, Türk Dil Kurumu Sözlüğünde “Değişken bir büyüklüğün durağan bir büyüklüğe, hiçbir zaman erişmemek şartıyla gittikçe yaklaşışı” olarak tanımlanır. Belirli bir fonksiyonu uyguladığımızda çıkan sonuç, giderek her uygulanışta belirli bir değere yakınsıyorsa o fonksiyonun
limitine, sınır değerine ulaşırız.
Günlük hayatımızda da, yakınsamak önemli bir kavram… Örneğin eğitimde, küçük çocukların eğitiminde aynı şeyi birkaç kez söyler, uyarırsak çocuğumuz giderek daha iyi ve doğru davranır. Çocuğumuzun davranışı bizim uyarı ve onu gözleyiş döngümüz sonucunda iyiye doğruya güzele YAKINSAR.
Döngü (iteration) bilgisayar programlayışta sabit bir işlem dizisinin değişken bir giriş dizisine uygulanışı ve bunun bir sonuç dizisi çıkarışıdır. Örneğin, İETT gişesinde bilet satan memur, kendisine gelen istekleri hep aynı döngü içinde hep aynı grup işlemleri yaparak yerine getirir.
Döngünün çeşitli tipleri var. Hiç bitmeyen döngüye sonsuz döngü denir. Sonsuz döngüye giren bir bilgisayar donup kalır, hiçbir giriş kabul etmez, tıpkı bitkisel hayata giren hastalar gibi…
Günlük dilimizde yaygın olan bir döngü biçimi, kısır döngü… TDK sözlünde, kısır döngü “Aynı olumsuz sonucu veren, çözüm getirmeyen durumların tekrarlanması, sürdürülmesi” olarak tanımlanır.
Düşününüz, kültürümüz kısır döngünün altını ne kadar çok çizer… Öte yandan kısır olmayan olumlu döngü için tek bir Türkçe kelimemiz olmaması, Çinli bir kralın ülke savunmasında en kıymetli şey dildir deyişini hatırlatır bana. Sanırım, bizim dilimiz kıymetli şeylerin ifade edilmeden uygulandığı, harekata dönüştüğü askeri bir kültürden geliyor…
Döngü maddenin ve yaşamın temelinde olan bir olgu. Tekrar etmeğe dayanıyor. Var olmak kadar temel. Eğer bir olay dizisi düzenli olarak tekrar ediyorsa bir döngü oluşturuyor. Ama her olay dizisi bir döngü değil. Açık uçlu olay dizileri tekrar etmez. Burada tekrar şekli de önemli. Eğer bir olay dizisi biter bitmez kendini tekrar ederse bu tam anlamı ile bir döngüdür. Fakat, gerçek hayatta döngü olarak adlandırdığımız olaylar genelde çeşitli duraklayışlar ve gecikişlerden sonra tekrar eder.
Döngünün şekli ve zamanından öte, en önemli şey döngünün ürettiği sonuçtur. Biletçi örneğinde olduğu gibi, bazı döngülerde döngünün her defasında da, yani her çevriminin sonucunda da aynı sonucu üretişi beklenir. Örneğin bir keman solistinin Mendelsohn keman konçertosunu her çalışında aynı kalite düzeyini yakalayışı gibi. Ya da bir bilgisayar programının her çalışışında aynı girişler için aynı çıkışları üretişi gibi.
Peki bu mümkün müdür? İşte Michelangelo’nun Vatikan sarayında duran eseri Pieta bence tamamıyla bunu tartışan bir eser, Hiristiyan Batı sanatının bir başeseri…
İETT bilet satıcısını dikkate alalım. Aslında hiçbir bilet satıcısı, hatta hiçbir meslek erbabı bugünden yarına ustalaşmaz. Ustalık bir öğreniş süreci ve pişmek ister. Kişi ilk önce kuralları defalarca okur, ya da uyarılar alarak işitir, sonra onları uygularken her defasında kendi hatalarını ve sonuçlarını görür. Çırak öğreniş döngüsü içinde ustaya yakınsar, pişer.
Peki, öğreniş döngüsü ile Pieta arasında ne ilişki var? Michelangelo niye ömrü boyunca yarattığı çok sayıda eseri arasında yalnızca Pieta’da çarmıhtan indirilmiş oğlunu kucağında tutan Meryem annemizin göğsündeki omuz kuşağına büyük harflerle kendi ismini yazmış? Acaba niye bu cürete sahip heykeltraş en azından heykel yapmak kadar mimarlıkta da usta?
Nümerik analiz mimarlık gibi matematikle ilgili ama belki onun bir parçası… Nümerik analizde eşitliklerin döngü ile çözümü konusu (solution of equations by iteration) bize Michelangelo’yu daha iyi anlamak yolunu açabilir…
f(x) = 0 şeklindeki bir eşitliği
x = g(x) şekline dönüştürürüz, daha sonra bir x0 başlangıç noktası SEÇİP
x1 = g(x0) ve
bir döngü içinde
x2=g(x1)
x3, x4, x5 … x100 ve benzeri x değerlerini hesaplayabiliriz.
Görürüz ki, BAZI eşitlikler bir noktadan sonra hep aynı x4,x5,x6 değerlerini verir. Yani bu g(x) fonksiyonları sabit bir değere yakınsarlar. Eğer bulduğumuz bu değerleri alıp f(x)’te yerleştirisek görürüz ki hemen hemen f(x) = 0 çıkar.
Bulduğumuz değer f(x) = 0 eşitliğinin çözümüdür. Ayrıca, başlangıçta seçtiğimiz x0 değerini değiştirip farklı değerler denersek, BAZI durumlarda farklı sonuçlara YAKINSAdığımızı görürüz. Yani f(x) eşitliğinin birden çok sonucu olabilir.
Gerçek hayatta da böyle değil mi? Karşılaştığımız problemlerin birden çok çözümü olmuyor mu?
Örneğin evden Taksime işe giderken birden çok vesait birden çok yol imkanı yok mu? Biz bu çözümleri, her gün izlediğimiz bir döngü içinde deneyerek yakınsayıp, bulmuyor muyuz?
Yakınsamak ve öğrenmek döngüsü, günümüz teknolojisinde NEURAL NETWORKSte de önemli konulardan. Bir yapay sinir ağını tıpkı insan beynindeki sinir ağları gibi çeşitli sayıda ağ tabakalarından ve sinir düğümlerinden oluşturmak mümkün. Daha sonra belirli girişler uygulayarak bir döngü içinde sinir ağına olumlu olumsuz uyarılar vermek, onu küçük küçük değiştirmek ve giderek ona istenen davranışları öğretmek mümkün. Örneğin bir bavul kontrol cihazına patlayıcı maddeleri tanımağı öğretebiliyorsunuz. Burada önemli olan yapılacak işe uygun sinir tabakası ve düğüm sayısını seçmek… BAZI durumlarda siz hiçbir uyarı yapmasanız da sinir ağı iyiyi, güzeli, doğruyu kendisi bulabiliyor.
Peki bunun Pieta ile Michelangelo ile ne ilişkisi var? İlişkisi var çünkü, bir döngünün yakınsayıp yakınsamayacağını, ya da hangi hızla yakınsayacağını belirleyen şey BAŞLANGIÇ NOKTASI… Michelangelo geçmişte bir gün koskoca bir mermer bloğunu kaldıraçlarla sütüdyosuna taşıttı. Bilmiyorum nasıl ama bir gün geldi ve o taşın içine baktı. O taşın içinde PİETAYI GÖRDÜ, bir gün. Aslında gördüğü büyük bir olasılık iş bittiğinde gördüğü ile aynı değildi, belki ondan çok dha kaba sapa bir şeydi… Ne yazık, bilemiyoruz, belki çok daha muhteşem güzeldi…
İşte o bilmemizin mümkün olmadığı güzel şeyi, kafasındaki hayali düşünerek, en doğru başalngıç noktasını seçti. Taşa birkaç kez vurdu. Geri çekildi, baktı. Sonra birkaç kez daha vurdu. Tekrar geri çekildi ve baktı. Sanki sonsuz gibi gelen bir döngü içinde kafasındaki Pieta’ya yakınsamağa çalıştı.
Bazı eşitliklerin birden çok çözümü olduğunu söylemiştik. Döngü yaratıcının seçtiği başlangıç noktasına göre farklı farklı sonuçlara yakınsayabilir. Aslında Michelangelo ismini yazdığı tek eseri olan Pieta’ya ulaşıncaya kadar yapmış olduğu birkaç tane farklı Pieta’ya hala sahibiz…
Son bir söz. Batı ustalığında yaygın bir teknik vardır. Eğer bir alet yaparsanız, aletin kullanımını da o aletle anlatırsınız. Tanıtımı o aletle yaparsınız. Eğer Pieta’ya bakarsanız… Kah kendi yarattığı çocuğunun ölümlülüğnü gören bir ananın eşsiz acısını, kah onun bakışlarında bir yaratıcı ustanın o ilk anda taşın içinde gördüğü hayali hiçbir zaman yaratamayacağının hüznünü hisseblirsiniz.
Ali R+
Editöre Not: İmla hatalarını düzeltmeyiniz. Hatalar güzeldir. Onlar da lazim.
Matematikte yakınsamak, Türk Dil Kurumu Sözlüğünde “Değişken bir büyüklüğün durağan bir büyüklüğe, hiçbir zaman erişmemek şartıyla gittikçe yaklaşışı” olarak tanımlanır. Belirli bir fonksiyonu uyguladığımızda çıkan sonuç, giderek her uygulanışta belirli bir değere yakınsıyorsa o fonksiyonun
limitine, sınır değerine ulaşırız.
Günlük hayatımızda da, yakınsamak önemli bir kavram… Örneğin eğitimde, küçük çocukların eğitiminde aynı şeyi birkaç kez söyler, uyarırsak çocuğumuz giderek daha iyi ve doğru davranır. Çocuğumuzun davranışı bizim uyarı ve onu gözleyiş döngümüz sonucunda iyiye doğruya güzele YAKINSAR.
Döngü (iteration) bilgisayar programlayışta sabit bir işlem dizisinin değişken bir giriş dizisine uygulanışı ve bunun bir sonuç dizisi çıkarışıdır. Örneğin, İETT gişesinde bilet satan memur, kendisine gelen istekleri hep aynı döngü içinde hep aynı grup işlemleri yaparak yerine getirir.
Döngünün çeşitli tipleri var. Hiç bitmeyen döngüye sonsuz döngü denir. Sonsuz döngüye giren bir bilgisayar donup kalır, hiçbir giriş kabul etmez, tıpkı bitkisel hayata giren hastalar gibi…
Günlük dilimizde yaygın olan bir döngü biçimi, kısır döngü… TDK sözlünde, kısır döngü “Aynı olumsuz sonucu veren, çözüm getirmeyen durumların tekrarlanması, sürdürülmesi” olarak tanımlanır.
Düşününüz, kültürümüz kısır döngünün altını ne kadar çok çizer… Öte yandan kısır olmayan olumlu döngü için tek bir Türkçe kelimemiz olmaması, Çinli bir kralın ülke savunmasında en kıymetli şey dildir deyişini hatırlatır bana. Sanırım, bizim dilimiz kıymetli şeylerin ifade edilmeden uygulandığı, harekata dönüştüğü askeri bir kültürden geliyor…
Döngü maddenin ve yaşamın temelinde olan bir olgu. Tekrar etmeğe dayanıyor. Var olmak kadar temel. Eğer bir olay dizisi düzenli olarak tekrar ediyorsa bir döngü oluşturuyor. Ama her olay dizisi bir döngü değil. Açık uçlu olay dizileri tekrar etmez. Burada tekrar şekli de önemli. Eğer bir olay dizisi biter bitmez kendini tekrar ederse bu tam anlamı ile bir döngüdür. Fakat, gerçek hayatta döngü olarak adlandırdığımız olaylar genelde çeşitli duraklayışlar ve gecikişlerden sonra tekrar eder.
Döngünün şekli ve zamanından öte, en önemli şey döngünün ürettiği sonuçtur. Biletçi örneğinde olduğu gibi, bazı döngülerde döngünün her defasında da, yani her çevriminin sonucunda da aynı sonucu üretişi beklenir. Örneğin bir keman solistinin Mendelsohn keman konçertosunu her çalışında aynı kalite düzeyini yakalayışı gibi. Ya da bir bilgisayar programının her çalışışında aynı girişler için aynı çıkışları üretişi gibi.
Peki bu mümkün müdür? İşte Michelangelo’nun Vatikan sarayında duran eseri Pieta bence tamamıyla bunu tartışan bir eser, Hiristiyan Batı sanatının bir başeseri…
İETT bilet satıcısını dikkate alalım. Aslında hiçbir bilet satıcısı, hatta hiçbir meslek erbabı bugünden yarına ustalaşmaz. Ustalık bir öğreniş süreci ve pişmek ister. Kişi ilk önce kuralları defalarca okur, ya da uyarılar alarak işitir, sonra onları uygularken her defasında kendi hatalarını ve sonuçlarını görür. Çırak öğreniş döngüsü içinde ustaya yakınsar, pişer.
Peki, öğreniş döngüsü ile Pieta arasında ne ilişki var? Michelangelo niye ömrü boyunca yarattığı çok sayıda eseri arasında yalnızca Pieta’da çarmıhtan indirilmiş oğlunu kucağında tutan Meryem annemizin göğsündeki omuz kuşağına büyük harflerle kendi ismini yazmış? Acaba niye bu cürete sahip heykeltraş en azından heykel yapmak kadar mimarlıkta da usta?
Nümerik analiz mimarlık gibi matematikle ilgili ama belki onun bir parçası… Nümerik analizde eşitliklerin döngü ile çözümü konusu (solution of equations by iteration) bize Michelangelo’yu daha iyi anlamak yolunu açabilir…
f(x) = 0 şeklindeki bir eşitliği
x = g(x) şekline dönüştürürüz, daha sonra bir x0 başlangıç noktası SEÇİP
x1 = g(x0) ve
bir döngü içinde
x2=g(x1)
x3, x4, x5 … x100 ve benzeri x değerlerini hesaplayabiliriz.
Görürüz ki, BAZI eşitlikler bir noktadan sonra hep aynı x4,x5,x6 değerlerini verir. Yani bu g(x) fonksiyonları sabit bir değere yakınsarlar. Eğer bulduğumuz bu değerleri alıp f(x)’te yerleştirisek görürüz ki hemen hemen f(x) = 0 çıkar.
Bulduğumuz değer f(x) = 0 eşitliğinin çözümüdür. Ayrıca, başlangıçta seçtiğimiz x0 değerini değiştirip farklı değerler denersek, BAZI durumlarda farklı sonuçlara YAKINSAdığımızı görürüz. Yani f(x) eşitliğinin birden çok sonucu olabilir.
Gerçek hayatta da böyle değil mi? Karşılaştığımız problemlerin birden çok çözümü olmuyor mu?
Örneğin evden Taksime işe giderken birden çok vesait birden çok yol imkanı yok mu? Biz bu çözümleri, her gün izlediğimiz bir döngü içinde deneyerek yakınsayıp, bulmuyor muyuz?
Yakınsamak ve öğrenmek döngüsü, günümüz teknolojisinde NEURAL NETWORKSte de önemli konulardan. Bir yapay sinir ağını tıpkı insan beynindeki sinir ağları gibi çeşitli sayıda ağ tabakalarından ve sinir düğümlerinden oluşturmak mümkün. Daha sonra belirli girişler uygulayarak bir döngü içinde sinir ağına olumlu olumsuz uyarılar vermek, onu küçük küçük değiştirmek ve giderek ona istenen davranışları öğretmek mümkün. Örneğin bir bavul kontrol cihazına patlayıcı maddeleri tanımağı öğretebiliyorsunuz. Burada önemli olan yapılacak işe uygun sinir tabakası ve düğüm sayısını seçmek… BAZI durumlarda siz hiçbir uyarı yapmasanız da sinir ağı iyiyi, güzeli, doğruyu kendisi bulabiliyor.
Peki bunun Pieta ile Michelangelo ile ne ilişkisi var? İlişkisi var çünkü, bir döngünün yakınsayıp yakınsamayacağını, ya da hangi hızla yakınsayacağını belirleyen şey BAŞLANGIÇ NOKTASI… Michelangelo geçmişte bir gün koskoca bir mermer bloğunu kaldıraçlarla sütüdyosuna taşıttı. Bilmiyorum nasıl ama bir gün geldi ve o taşın içine baktı. O taşın içinde PİETAYI GÖRDÜ, bir gün. Aslında gördüğü büyük bir olasılık iş bittiğinde gördüğü ile aynı değildi, belki ondan çok dha kaba sapa bir şeydi… Ne yazık, bilemiyoruz, belki çok daha muhteşem güzeldi…
İşte o bilmemizin mümkün olmadığı güzel şeyi, kafasındaki hayali düşünerek, en doğru başalngıç noktasını seçti. Taşa birkaç kez vurdu. Geri çekildi, baktı. Sonra birkaç kez daha vurdu. Tekrar geri çekildi ve baktı. Sanki sonsuz gibi gelen bir döngü içinde kafasındaki Pieta’ya yakınsamağa çalıştı.
Bazı eşitliklerin birden çok çözümü olduğunu söylemiştik. Döngü yaratıcının seçtiği başlangıç noktasına göre farklı farklı sonuçlara yakınsayabilir. Aslında Michelangelo ismini yazdığı tek eseri olan Pieta’ya ulaşıncaya kadar yapmış olduğu birkaç tane farklı Pieta’ya hala sahibiz…
Son bir söz. Batı ustalığında yaygın bir teknik vardır. Eğer bir alet yaparsanız, aletin kullanımını da o aletle anlatırsınız. Tanıtımı o aletle yaparsınız. Eğer Pieta’ya bakarsanız… Kah kendi yarattığı çocuğunun ölümlülüğnü gören bir ananın eşsiz acısını, kah onun bakışlarında bir yaratıcı ustanın o ilk anda taşın içinde gördüğü hayali hiçbir zaman yaratamayacağının hüznünü hisseblirsiniz.
Ali R+
Editöre Not: İmla hatalarını düzeltmeyiniz. Hatalar güzeldir. Onlar da lazim.
